Први ирационални број

Ирационални бројеви су они реални бројеви који се не могу написати као количник два цела броја, тј. у облику p/q, где су p и q цели бројеви.

Откриће „првог“ ирационалног броја, корена из 2, везује се за питагорејце и њиховог припадника Хипаса који је од стране других припадника исте био сурово кажњен за своје откриће, јер су питагорејци сматрали да се све може приказати као однос целих бројева у смислу у којем су заснивали своје учење о савршенству бројева. Отуда и назив „ирационално“, као нешто неразумно.

Сам Хипас није имао намеру да обори тај став питагорејаца, већ напротив да га докаже, при чему је дошао до тог важног открића спонатано и невољно. Наиме, он се суочио са проблeмом да хипотенуза правоуглог једнакокраког трoугла чија је страница 1 представља нешто што се не може изразити као однос целих бројева.

Наравно, јасно је да дужина хипотенузе износи корен из 2. Докажимо да се тај број не може написати као однос два цела броја.

Нека је корен из 2=p/q, где су p и q цели бројеви, за које важи (p,q)=1 (разломак p/q је нескратив, тј. p и q немају заједнички делилац већи од 1, односно бројеви p и q су узајамно прости). Тада је p2/q2=2
p2=2q2

Јасно да је p онда паран број. Значи, можемо га писати као 2к. Његов квадрат је онда 4к2. Вратимо то у p2=2q2 и добијамо q2=2к2, па је и q паран. Дакле и p и q су дељиви са 2, што је у контрадикцији са почетним условом о нескративости разломка p/q.

Отуда је корен из 2 ирационалан.

Напомена:
Наравно, реч „први“ из наслова не треба схватити буквално. То је први откривен ирационални број, али то нема везе са било каквим поретком самих бројева.

од Bratislav Sredojević Објављено у Чланци

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s